不需證明的常識性認知為公理，經過受邏輯限制的證明為真的陳述為定理。

歐幾里得用十條公理推導出465條定理，用465條定理構造了整個經典幾何世界。

各國中學生所學習的幾何母版，其實就是歐幾里得著於兩千多年前的《幾何原本》。

《幾何原本》在世界范圍內的出版行數量僅次於《聖經》，我們依舊在學習兩千多年前的幾何教材，或許還將繼續學習兩千年。這就是「經典教材」的定義。

歐幾里得先設定公理再證明定理，從而推導出整個經典幾何世界的嚴謹思維令人驚嘆。即便在今天，這種邏輯推理思維與整體構築能力也堪稱變態。

唯一的疑點是，「歐幾里得第五公設」的常識性認知值得商榷。

歐幾里得最早設定的1o個常識性認知，其實是5個公理+5個公設。

近代數學將公設與公理合並，對於常識性的認知統稱為公理。

「歐幾里得第五公設」所描述的常識性認知，可等價表示為：過已知直線外一點，能且僅能作一條直線與已知直線平行。

「第五公設不難理解，並成為社會上大多數人的常識。」沈奇在黑板上隨手畫了一條長達一米八的直線，非常的直，像是拿尺子比出來的。

「我問山姆，嘿山姆，過已知直線外一點能作幾條直線與已知直線平行？」

「山姆告訴我，只能作一條平行線。山姆說這是他中學數學老師教他的，他認為這是常識性的問題，就如信用卡必須按時還款，否則將被起訴。」

「我問麗薩，她給我相同的答案。」

「對了，山姆是老虎旅館的經理，人很不錯。而麗薩是經濟學三年級的學生，級火辣，人很可愛，她常去老虎旅館玩。」說到這里，沈奇在黑板上畫了個點。

「哇喔，奇，你已經和麗薩約會了？」十二位數學系男生中的一半是宅男，並沒有女朋友，他們感到羨慕。

「這不是重點。」沈奇心疼的看著這些宅男單身狗，承諾道：「幾個月之後你們進入普林斯頓滿兩年，我會介紹你們加入老虎旅館，普林斯頓最漂亮、最勁爆的姑娘們都在那里愉快玩耍。」

「great-key！」

「偉大奇！」

宅男們雞凍了，沈奇在他們心中的形象愈光輝偉岸，老頭子教授們可不會帶他們去俱樂部認識漂亮姑娘。

「言歸正傳，重點是經濟學專業的麗薩也學習基礎數學理論，但她並不認為過直線外一點，能作出兩條以上的平行線。」沈奇敲了敲黑上的那個小點，說到：「麗薩無法做到的事情，我們可以替她完成。歐幾里得第五公設在大多數情況下是常識，但當光線通過大質量星球時，我們必須使用非歐幾何，因為光線會彎曲。」

沈奇在黑板上徒手畫了一個圓，特別的圓，圓成這樣了o

圓內兩點a、b由一條曲線連接，這條曲線在非歐幾何中代表直線。

「從宇宙的角度審視地球，過ab外一點，我們可以作出無數條平行線。」

沈奇給學生們溫習羅氏點和羅氏直線的知識點，加深學生們的印象。

穆勒教授在大課堂上講的很快，兩節大課之後已講到了黎曼幾何。

導修班是有必要的，這些二年級學生尚在學術成長期，他們需要一對一的單獨輔導，否則有可能抓狂。

偉大的歐幾里得留下了一條破綻，第五公設的普適性值得商榷，而這正是非歐幾何的開端。

非歐幾何分為兩個主要流派，羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何。

羅氏幾何即雙曲幾何，更多是從幾何角度出。黎曼幾何即橢圓幾何，因為流形的引入，黎曼幾何與微分、拓撲、群論相交叉，研究起來的難度更大。

沈奇在羅氏幾何中，通過作圖演繹出了過直線外一點的無窮多條平行線，傳統意義上的平行概念消失，彎曲空間中的平行遵守羅氏平行公理。

在這個特殊的空間中，三角形的內角和不再是18o度，而是小於18o度。

三角形的樣子也不再是剛正不阿的傳統三角形，沈奇用「魔鬼喇叭花」圖案，生動演繹了羅氏三角形內角和小於18o度的原理。