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對於地球的數學家來說,被某一個定理弄得精神崩潰,最多是發瘋。在精神病院呆過的數學家,數量僅比在精神病院呆過的文學家少。
而對神州的修士來說,道心被破,就有可能帶來物理性的死亡。
因此,哥德爾不完備定理,對於神州的修士是非常危險的。
即使對於王崎這種上輩子就知曉這一定理,然後這輩子又親自將之推導出的人,都遇到了危險。
但是,王崎知曉,這應該不會是生命危險。
對了以防萬一,他預先就預估出十種可能的狀態,做出十二種預案。
其中,「狀況乙」就是指他現在的狀態。
崩潰確實發生了,很嚴重,一切手段都無法遏制。但是,到了最後的關頭,崩潰就會自動停止,為王崎留出一線生命。
「所有的公理系統都是不完備的」這一觀點,只是一般人對哥德爾不完備定律的誤讀。實際上,人類已知的完備系統是存在的。就比如說歐式幾何,它就可以被公理化為一個完備的系統。另外,王崎在數年之前拋出的哥德爾完備定理【在神州,它叫做『王氏完備律』】,也說明了一切一階邏輯系統的完備性。
崩潰不是無止境的。至少王崎的修法當中,還存在「不完備」也不能懷疑、不能顛覆的東西。
王崎感覺到了自己的狀況。他的命火只剩一線,生命垂危。但是,他手中的筆還沒有停下來。
因為他已經做好的准備、留下後手了。
王崎手上的戒指「數學」,肩膀上的肩甲「離散」依次亮起,然後,賈維斯將一篇新的法訣輸入到王崎體內。
「因為不完備,我們永遠無法證明一個公理系統無矛盾」,這同樣是對哥德爾不完備定理的誤讀。
哥德爾不完備定理否決的,是「在一個系統的內部來證明該系統的一致性」的可能性,這個證明過程說起來復雜。但是其核心思想是運用了所謂的「自指」。
這個陳述陳述了自己。
這個集合包含了自己。
這也是邏輯學當中許多悖論的來源。地球的「理發師悖論」、神州的「煉丹師悖論」,歸根結底都是「一個集合究竟應不應該包括自身」的疑問所引發的。
而這一條不完備定律,是可以繞過的。
不能在系統之內證明系統的完備性,但是可以從系統之外證明。
我們不能根據系統本身證明這個系統。但是可以通過另一個系統來證明它。
王崎在五六年前就做過相關的理論研究。
正是,布爾巴基學派的思想!
從外部證明!
布爾巴基學派,本就是地球的數學界在被哥德爾不完備定理狠狠洗過之後,重新衍生出來的東西。若是按照神州的分類法,同樣屬於離宗一系。而按照布爾巴基學派理論推演出的修法。也正好能夠支撐因為不完備律而崩散的法力系統。
賈維斯給出的支援,正在重新導正王崎體內崩散的法力。
與此同時,王崎的論文也接近了尾聲。
「結論……由此,我可以證明,對於任意的算學系統,如果其中包含了算術系統的話,那么這個系統不可能同時滿足完備性和一致性。對於任意的算術系統,如果其中包含了算術系統的話,那么我們不能在這個系統的內部來證明它的一致性……」
完備性和一致性不可得兼,這個系統要么自相矛盾。要么存在著既不能證明也不能證偽的命題!
轟隆!
王崎腦海中如有一道雷光炸響。他感覺到神清氣爽,從來就沒有這么清醒過。
而另一方面,他的法力系統崩散又重聚,幾乎等於是經歷了一次涅槃。他的修為依舊是結丹初期,但是修法本質卻隱有升華。
啪啪啪啪啪……
空氣當中傳來了一連串脆響,如同裂帛。那是王崎無意識中逸散的法力對周圍的攪擾。
他站了起來,然後又坐下,想了想。重新拿起一張紙,寫了一個附錄,再次聲明哥德爾不完備定律的本質。並附上他這幾年斷斷續續做的,有關於「超限歸納法算術公理化」的論文。
就連他本人,在寫這篇論文的時候,遭遇了修法的大崩潰。若是其他人,又會怎么樣?